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数学Ⅲ:数列の極限
数列の収束と発散

【タイヤ&アルミホイールセット】 アルファード,ヴェルファイア ANH20W CDF1 1770+38 5-114 カーボンGM 【ブリヂストン/BRIDGESTONE】 NEXTRY 215/60R17 純正17インチ

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今回の問題は「数列の収束と発散」です エスクード用 アクチュエータアッシフリーアクスルエスクード 27750-67D01 スズキ純正部品。

問題一般項が次の式の数列の収束・発散を調べよ。また、収束するときはその極限値を求めよ。${\small (1)}~\{~n-1~\}\hspace{32pt}{\small (2)}~\{~3-n~\}$${\small (3)}~\left\{~2+\frac{1}{n}~\right\}\hspace{20pt}{\small (4)}~\left\{~\frac{2}{n^2}-1~\right\}$${\small (5)}~\{~\sqrt{n+1}~\}\hspace{25pt}{\small (6)}~\{~3^n~\}$${\small (7)}~\left\{~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\right\}\hspace{20pt}{\small (8)}~\{~(-2)^n~\}$

 

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Point:数列の収束と発散\(a\) を定数とし、\(n\to\infty\) としたとき、

$~{\large ①}~n\pm a ~\to~\infty$$~{\large②}~-n\pm a~\to~-\infty~~$$~{\large③}~n^2+n~\to~\infty$

定数をたし算・ひき算しても結果は同じになります。
 

$~{\large④}~\frac{a}{n}~\to~0$$~{\large⑤}~\frac{a}{n^2}~\to~0~~$

分母が \(\infty\) になると限りなく \(0\) に近づきます。
 

$~{\large⑥}~\sqrt{n}~\to~\infty~~$

平方根の中が無限大でも発散します。
 
無限等比数列 \(\{r^n\}\) について、

$~{\large⑦}~r>1~\Rightarrow~r^n~\to~\infty$$~{\large⑧}~r=1~\Rightarrow~r^n~\to~1$$~{\large⑨}~-1<r<1~\Rightarrow~r^n~\to~0~~$$~{\large⑩}~r≦-1$   \(~~\Rightarrow~~ r^n\) は振動する

 

問題解説:数列の収束と発散

カーボンGM 1770+38 純正17インチ 【ブリヂストン/BRIDGESTONE】 CDF1 5-114 ANH20W 215/60R17 【タイヤ&アルミホイールセット】 NEXTRY 純正17インチ アルファード,ヴェルファイア 5-114

問題一般項が次の式の数列の収束・発散を調べよ。また、収束するときはその極限値を求めよ CRIMSON(クリムソン) CLUB LINEA L612 (クラブリネア L612) 20インチ 10.5J PCD:120 穴数:5 inset:55 DISK TYPE:SUPER LOW カラー:SMB [ホイール1本単位]/H スタッドレス 17インチ 215/50R17 ブリヂストン ブリザックVRX ウェッズ レオニス ナビア05 MBP タイヤホイール4本セット 新品 国産車。${\small (1)}~\{~n-1~\}$

\(n\to\infty\) のとき、$~~~n-1~\to~\infty -1~\to~\infty$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(2)
問題${\small (2)}~\{~3-n~\}$

\(n\to\infty\) のとき、$~~~3-n~\to~3-\infty~\to~-\infty$よって、答えは負の無限大に発散します。

 

問題解説(3)
問題${\small (3)}~\left\{~2+\frac{1}{n}~\right\}$

\(n\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{n}}\to 0\) となるので、$~~~2+\frac{1}{n}~\to~2+0~\to~2$よって、答えは \(2\) に収束します 17インチMPVLY3PWEDS レオニス NAVIA 02 マットガンメタマシニングカット 7.0Jx17ZIEX ZE914F 215/60R17。

 

問題解説(4)
問題${\small (4)}~\left\{~\frac{2}{n^2}-1~\right\}$

\(n\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{n^2}}\to 0\) となるので、$~~~\frac{2}{n^2}-1~\to~0-1~\to~-1$よって、答えは \(-1\) に収束します。

 

問題解説(5)
問題${\small (5)}~\{~\sqrt{n+1}~\}$

\(n\to\infty\) のとき、$~~~\sqrt{n+1}~\to~\sqrt{\infty +1}~\to~\infty$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(6)
問題${\small (6)}~\{~3^n~\}$

等比数列の公比が \(3\) であるので、\(n\to\infty\) のとき、$~~~3^n~\to~\infty$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(7)
問題${\small (7)}~\left\{~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\right\}$

等比数列の公比が \({\Large \frac{1}{3}}\) であるので、\(n\to\infty\) のとき、$~~~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\to~0$よって、答えは \(0\) に収束します。

 

問題解説(8)
問題${\small (8)}~\{~(-2)^n~\}$

等比数列の公比が \(-2\) であるので、答えは振動します。

 

今回のまとめ

数列の極限の基本を解説しました。これらが今後の基本となるので、それぞれの求め方をしっかりと覚えておきましょう。

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